3月14日是π日 π就是圓周率。圓周率與費馬大定理也有一定的聯係。為瞭證明這個費馬大定理 無理數π，曾讓數學傢付齣瞭生命 - 趣味新聞網

3月14日是π日，π就是圓周率。圓周率與費馬大定理也有一定的聯係。為瞭證明這個費馬大定理，人類前赴後繼挑戰瞭三個世紀，多次震驚全世界，耗盡人類眾多最傑齣大腦的精力，也讓韆韆萬萬業餘者癡迷。

費馬大定理最早的齣處――丟番圖的《算術》

大約在1637年左右，法國學者費馬在閱讀丟番圖《算術》拉丁文譯本時，曾在第11捲第8命題旁寫道：“將一個立方數分成兩個立方數之和，或一個四次冪分成兩個四次冪之和，或者一般地將一個高於二次的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的。關於此，我確信已發現瞭一種美妙的證法，可惜這裏空白的地方太小，寫不下。”自此，一場對於費馬大定理之證明的追逐與挑戰開啓，直到英國數學傢安德魯・懷爾斯手中，這個史上最深奧的數學謎題纔得以完全解開。《費馬大定理:一個睏惑瞭世間智者358年的謎》講述瞭懷爾斯經過數年秘密辛苦的工作，終於解決瞭挑戰性的數學問題的艱辛旅程，並來迴穿插著曆代數學傢是如何挑戰這個數學之謎的故事。 而承認π是一個無理數，也是提齣費馬大定理這一問題的基礎，今天就讓我們來看看，π是如何被發現和承認的吧。

文 | [英]西濛・辛格

譯 | 薛密

歐幾裏得生於公元前330年左右。與畢達哥拉斯一樣，歐幾裏得隻是為數學本身而探求數學真理，在他的著作中並不尋求應用。有一個故事講到，有個學生問歐幾裏得他正在學習的數學有什麼用處，當講課一結束，歐幾裏得就轉身嚮他的奴僕說：“給這個孩子一個硬幣，因為他想在學習中獲得實利。”然後這個學生就被驅逐瞭。

歐幾裏得一生的大量時間花在撰寫《幾何原本》（Elements）這本有史以來最成功的教科書上。直到20世紀之前，它是世界上僅次於《聖經》的第二本暢銷書。《幾何原本》共有13捲，其中一部分寫的是歐幾裏得自己的工作，其餘部分則收集瞭當時所有的數學知識，包括有2捲全部寫的是畢達哥拉斯兄弟會的研究工作。自畢達哥拉斯以後的幾個世紀中，數學傢們已經發明瞭許多可以應用於不同場閤的邏輯推理方法，歐幾裏得嫻熟地在《幾何原本》中使用瞭這些方法。特彆是歐幾裏得利用瞭一種被稱為“反證法”的邏輯武器，這種方法圍繞這樣一個有點不閤情理的想法展開：企圖證明某個定理是真的，但首先假定它是假的；然後數學傢去探討由於定理是假的而産生的邏輯結果。在邏輯鏈的某個環節上會齣現一個矛盾（例如，2+2=5），而數學不能容忍矛盾，於是原來的定理不可能是假的，也就是說它是真的。

英國數學傢G.H.哈代在他的《一個數學傢的自白》這本書中概括瞭反證法的精髓：“歐幾裏得如此深愛的反證法是數學傢最精妙的武器之一。它是比任何弈法更為精妙的棄子取勝法：棋手可能犧牲一隻卒子甚至更大的棋子以取勝，而數學傢則犧牲整個棋局。”

歐幾裏得的一個最著名的反證法確立瞭所謂的“無理數”的存在性。也有人懷疑無理數最初是畢達哥拉斯兄弟會在幾個世紀前發現的，隻是由於畢達哥拉斯如此地厭惡這個概念以緻他否認瞭這種數的存在。

當畢達哥拉斯聲稱天地萬物是由數支配的時候，他所指的數隻是總稱為有理數的整數以及整數的比（分數）。無理數是既不是整數又不是分數的數，這就是無理數使畢達哥拉斯如此驚駭的原因。事實上無理數是這樣奇特，它們不能被寫成小數，即使是循環小數。像0.111 11…這樣的循環小數實際上是一個相當簡單的數，它等於分數1／9。數字“1”永遠重復這個事實意味著這個小數有非常簡單的規則的構成方式。這種規則性，盡管它無限次地延續，仍意味著這個小數可以被重新寫成為一個分數。然而，如果你企圖將一個無理數錶示為一個分數，那麼最終會是一個構成方式毫無規則的（或者說非一貫的）永遠延續下去的數。

無理數的概念是一個重大的突破。數學傢們當時正在尋找、發現或者說發明整數和分數以外的新的數。19世紀的數學傢利奧波德・剋羅內剋說：“上帝創造瞭整數;其餘則是我們人類的事瞭。”

最著名的無理數是π。在學校裏，它有時被近似為3.14；然而，π真正的值接近於3.14159265358979323846，但即使這個值也隻不過是一個近似值。事實上，π不可能被精確地寫齣，因為小數位會永遠延續下去且無任何模式。這種隨機的模式有一個美妙的特點，51即它可以利用一個極有規則的方程來計算：

π=411-13+15-17+19-111+113-115+…。

通過計算開首的幾項，你會得到π的一個非常粗糙的值，但若計算越來越多的項，就會達到越來越準確的值。雖然知道π的39個小數位就足以計算銀河係的周界使其準確到一個氫原子的半徑，但這並不能阻止計算機科學傢們將π計算到盡可能多的小數位。當前的紀錄是由東京大學的金田康正保持的，他於1996年將π算到60億個小數位。最近的傳聞暗示，在紐約的俄國人丘德諾夫斯基兄弟已經將π算到80億個小數位，他們的目標是達到1萬億個小數位。但即使金田或者丘德諾夫斯基兄弟繼續計算直到他們的計算機耗盡世界上所有的能量為止，他們也仍然不會找到π的準確值。由此不難理解為什麼畢達哥拉斯要將這些難以駕馭的數的存在性隱瞞起來。

當歐幾裏得大膽麵對《幾何原本》第10捲中的無理性問題時，其目標是證明可能存在永不能寫成為一個分數的數。他並沒有嘗試證明π是無理數，而代之以研究2的平方根2――自身相乘後等於2的數。為瞭證明2不可能寫成一個分數，歐幾裏得使用瞭“反證法”，並從假定它能寫成一個分數開始著手。然後他證明這個假定的分數總能簡化。分數的簡化意指，例如，分數812經過用2去除分子和分母可以簡化成46。接著46可以簡化成23，而23再也不能簡化，因而這個數被認為是812的最簡形式。然而，歐幾裏得證明瞭他假定的代錶2的那個分數可以無限多次地反復簡化但不會化成它的最簡形式。這是荒謬的，因為一切分數最終一定有它的最簡形式。因而，這個假定的分數不可能存在。於是，2不可能寫成一個分數，所以是一個無理數，附錄2中給齣瞭歐幾裏得的證明的概要。

使用瞭反證法，歐幾裏得得以證明無理數的存在，這是第一次使數具有瞭一種嶄新的、更為抽象的性質。 在這以前，一切數都可以錶示成整數或分數，而歐幾裏得的無理數嚮這種傳統的錶示法發起瞭挑戰。除瞭把2的平方根錶示成2之外，沒有其他的方法來描述這個數，因為它不能寫成一個分數。而企圖將它寫成一個小數的結果永遠隻能是它的一個近似值，例如1.414213562373……

對畢達哥拉斯來說，數學的美在於有理數（整數和分數）能解釋一切自然現象。這種起指導作用的哲學觀使畢達哥拉斯對無理數的存在視而不見，甚至導緻他的一個學生被處死。 有個故事說，一個名叫希帕索斯的年輕學生齣於無聊擺弄起數2來，試圖找到等價的分數，最終他認識到根本不存在這樣的分數，也就是說，2是一個無理數。希帕索斯想必對他的發現喜齣望外，但他的老師卻並不如此。畢達哥拉斯已經用有理數解釋瞭天地萬物，無理數的存在會引起對他的信念的懷疑。希帕索斯的洞察力獲得的結果一定經過瞭一段時間的討論和深思熟慮，在此期間畢達哥拉斯本應承認這個新的數源。然而，畢達哥拉斯不願意承認自己是錯的，同時他又無法藉助邏輯推理的力量來推翻希帕索斯的論證。使他終身羞恥的是他判決將希帕索斯淹死。

這位邏輯和數學方法之父寜可訴諸暴力而不承認自己是錯的。畢達哥拉斯對無理數的否認是他最不名譽的行為，也可能是希臘數學最大的悲劇。隻有在他死後無理數纔得以安全地被提及。

雖然歐幾裏得明顯地對數論有興趣，但這不是他對數學的最大貢獻。歐幾裏得真正的愛好是幾何學。《幾何原本》13捲中的第1到第5捲集中寫平麵（二維的）幾何學，而第11捲到13捲則處理立體（三維的）幾何學。它是如此完整的一套知識，以至於《幾何原本》的內容在以後的2000年內構成中學和大學中幾何課程的基本內容。

在數論方麵，編纂瞭有同樣價值的教科書的數學傢是亞曆山大的丟番圖，他是希臘數學傳統的最後一位衛士。雖然丟番圖在數論方麵的成就完好地記載在他的書中，但是關於這位傑齣數學傢的其他方麵人們差不多一無所知。他的誕生地不詳，他到達亞曆山大的時間可能是五個世紀中的任何一年。一方麵，在他的著作中丟番圖引用瞭海普西剋爾斯的話，因而他一定生活在公元前150年之後;另一方麵，他自己的工作又被亞曆山大的西奧所引用，因而他一定生活在364年以前。250年前後這段日期一般被認為是閤理的估計。流傳下來的丟番圖的生平是以謎語的形式敘述的，很適閤解題者的口味，據說曾被鎸刻在他的墓碑上：

上帝恩賜他生命的16為童年；再過生命的112，他雙頰長齣瞭鬍子；再過17後他舉行瞭婚禮；婚後5年他有瞭一個兒子。唉，不幸的孩子，隻活瞭他父親整個生命的一半年紀，便被冷酷的死神帶走。他以研究數論寄托他的哀思，4年之後他離開瞭人世。

挑戰是算齣丟番圖的壽命，這個謎語是丟番圖喜愛的那類問題中的一個例子。他的專長是解答要求整數解的問題，在現今，這一類問題被稱為丟番圖問題。他在亞曆山大的生涯是在收集易於理解的問題以及創造新的問題中度過的，然後他將它們全部匯集成一部書名為“算術”的重要論著。組成《算術》的13捲書中，隻有6捲逃過瞭歐洲中世紀黑暗時代的騷亂幸存下來，繼續激勵著文藝復興時期的數學傢們，包括皮埃爾・德・費馬在內。其餘的7捲在一係列的悲劇性事件中遺失。這些事件使數學倒退迴巴比倫時代。

從歐幾裏得到丟番圖之間的幾個世紀中，亞曆山大一直是文明世界的知識之都，但在這段時期裏，該城不斷地處於外敵的威脅之下。第一次大攻擊發生在公元47年，當時愷撒大帝企圖推翻剋婁巴特拉，放火焚燒瞭亞曆山大艦隊。位於港灣附近的圖書館也被纍及，成萬冊圖書被毀壞。對數學來說，幸運的是剋婁巴特拉很賞識知識的重要性，決心還圖書館昔日的輝煌。馬剋・安東尼認識到圖書館是通嚮知識心髒的途徑，因而進軍帕加馬城。這個城市已經開始興建一座圖書館，並希望會給這個圖書館提供世界上最豐富的藏書，但是安東尼卻將全部藏書轉移到埃及，恢復瞭亞曆山大的最高地位。

在接下來的四個世紀中，圖書館繼續收藏圖書直到389年它遭受到兩次緻命打擊中的第一次打擊為止，這兩次打擊都起因於宗教的偏見。命令亞曆山大的主教狄奧菲盧斯毀壞一切異教的紀念物。不幸的是，當剋婁巴特拉重建和重新充實亞曆山大圖書館時，她決定將它放在塞拉皮斯神廟之內，因而對聖壇和聖像的破壞就殃及圖書館。“異教”的學者們曾試圖挽救六個世紀積纍的知識財富，但是來不及做任何事就被基督教的暴徒們屠殺。嚮著中世紀愚昧黑暗時代的沉淪開始瞭。

一些最重要的書籍的珍本幸免於基督教徒的襲擊，學者們繼續來到亞曆山大尋求知識。然後在642年，一場伊斯蘭教的進攻成功地打敗瞭基督教徒。當問及應該如何處置圖書館時，獲勝的哈裏發奧馬爾命令凡是違反《古蘭經》的書籍都應銷毀，而那些與《古蘭經》相符的書籍則是多餘的，也必須銷毀。那些手稿被用作公共浴室加熱爐的燃料，希臘的數學化為煙灰。丟番圖的絕大部分著作被毀滅瞭，這並不令人驚奇。實際上，《算術》中的6捲能設法逃過亞曆山大的這一場慘劇倒是一個奇跡。

隨後的一韆年中，西方的數學處於停滯狀態，隻有少數的印度和阿拉伯的傑齣人物使這門學科繼續生存下去。他們復製瞭幸存下來的希臘手稿中描述的公式，然後他們自己著手重新創造許多遺失的定理。

（本文節選自《費馬大定理》）

費馬大定理：一個睏惑瞭世間智者358年的謎

[英]西濛・辛格 著

薛密 譯

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