乘法錶可以追溯到4000多年前的巴比倫人。最早的十進製的例子齣現在大約公元前300年的中國 由竹簡製作的乘法錶可以計算小於99.5的整數和半整數的乘積；此外我們可辨認的還有大約公元100年時 小學就會背的乘法錶，還藏著這麼多秘密？ - 趣味新聞網

乘法錶可以追溯到4000多年前的巴比倫人。最早的十進製的例子齣現在大約公元前300年的中國，由竹簡製作的乘法錶可以計算小於99.5的整數和半整數的乘積；此外我們可辨認的還有大約公元100年時，尼可馬庫斯（Nichomachus）在他的《算術導論（Introduction to Arithmetic）》中提到的畢達哥拉斯錶。

最早的十進位乘法錶之一，齣現在大約公元前300年的中國，用竹簡構造而成。

如今在學校裏，乘法錶是學生們通過死記硬背和快速記憶練習來學習乘法的工具。雖然有些人認為掌握乘法錶本身就是一種成就，但此外它還為學生打下瞭堅實的數學基礎。讓我們來深入研究一下，從一些有趣的視角來揭示隱藏在乘法錶的奧秘。

三角形數

在解釋什麼是三角形數之前，讓我們看看這個乘法錶，以及我們可以用它來做什麼。錶中的第一行和第一列都包括瞭數字1到10，而其他的方格中填充瞭所在行中的第一個數字與列中第一個數字的 乘積 。

我們在錶格的頂部和左側各添加一行/列0，仍然是一個乘法錶，隻是便於我們看齣下麵的一些圖案。

現在，我們把2的倍數（所有的 偶數 ）對應的方格都塗上藍色。這意味著，與2的倍數對應的所有行和列也都是藍色的，這樣我們就得到瞭一個藍色的網格。不在這個藍色網格中的方格都是白色的。(這裏我們在水平方嚮和竪直方嚮將錶格擴展到瞭數字16。)

現在，我們把所有 3的倍數 的方塊都塗成藍色。和前麵一樣，我們得到瞭一個藍色的網格，其中的行、列均對應於3的倍數。中間剩餘的四個白色方格組成瞭一個更大的正方形（2×2=4）:

如果我們把所有 4的倍數 的方塊都塗成藍色，同樣可以得到一個藍色的網格。在這種情況下，藍色網格外的地方構成包含3×3=9個小方格的正方形，這些正方形並不完全是白色的，因為中間的方塊是藍色的。齣現這種情況是因為4不是 質數 。

一般來說，如果你選擇一個 正整數 k並且用藍色錶示乘法錶中所有k的倍數，那麼你會得到一個相應的藍色網格，剩下的(k-1)2個小方格會組成一個正方形。 k是否為質數 決定瞭這些正方形是純白色還是包含一些藍色小方格。

這很有趣，我們換一個k. 下圖是我們從k=6得到的圖案(你可以很容易地想象k=5的圖案，因為5是質數)。

讓我們看看 三角形數 如何齣現在圖中。三角形數是一種數字，它可以用一組點構成的圖案來錶示，這些點排列在一個 等邊三角形 中，每邊有相同數量、間距相同的點。

例如:

第一個三角形數是1，第二個是1+2=3，第三個是1+2+3=6，第四個是1+2+3+4=10，以此類推。通常，第n個三角形數Tn是從第一個數1到n的和：

我們怎樣纔能在乘法錶的方格裏找到這些神奇的數字呢？首先，讓我們再看一下乘法錶，其中3的倍數對應的方格是藍色的。（我們忽略瞭藍色是2的倍數的乘法錶，因為數學傢們認為它是 平庸的 （trivial）：沒有什麼意思）。乘法錶中3的倍數塗成藍色之後的第一個白色方塊是這樣的:

把這個白色正方形裏的數字加起來得到：

9不是一個三角形數，但它是一個三角形數的 平方 。準確地說，它是第二個三角形數T2的平方。

現在，我們來看看將乘法錶中4的倍數對應小方格塗成藍色之後得到的第一個白色正方形:

把這個正方形裏的數字(包括中間藍色小方格裏的數字)加起來得到結果：

在這種情況下，和等於第三個三角形數的平方。

用不瞭多久，你就會發現k=5和k=6也有同樣的規律。

當k=5時，第一個正方形裏的數字之和：

當k=6時：

這是一個普遍的規律嗎？

我們把任意一個k的倍數塗成藍色，都是這樣的嗎？如果是，那麼將乘法錶中k的倍數塗成藍色之後圍成的第一個正方形內所有數字求和之後，便能求得第k-1個三角形數Tk-1。

我們來看看這是否正確。乘法錶中，我們會看到第一行方塊的組成數字是：

第二行由這些數字乘以2:

第三行由第一行中的數字乘以3:

以這種方式一行接一行地繼續下去，直到正方形的最後一行：將第一行的數字乘以(k-1)：

再把這些行中的數字相加：

提齣(1+2+3+…+k-1)，式子變成：

如上所述：

因此，我們證明瞭第一個大正方形內 所有數字之和Tk-12等於第k-1個三角形數的平方。

平方數

在整數的海洋中，乘法錶 主對角綫 （從西北角到東南角）上的紅色數字顯然是平方數――整數的2次方。

乘法錶中不僅可以找到三角形數，還可以找到平方數。在前麵的介紹中我們知道，乘法錶中將數字k的倍數填充為藍色，由這些藍色方格所包圍的正方形中數字之和與一個 三角形數 有關。方格中數的和等於(2m-1)(2n-1)Tk-12，其中m和n分彆錶示從頂部和左側算起的方格數目，Tk-1是第k-1個三角形數。

我們可以看到，主對角綫(從西北角到東南角)上藍色倍數所包圍的正方形格之和也是平方數。從文章的原始求和公式齣發能夠很容易地證明這一點，因為垂直和水平的位置是相同的，我們在公式中隻使用m：

分裂方格

如果深入研究乘法錶中其他不同尺寸和位置的方格結構，我們可以找到更多的平方數。基於主對角綫的方形格子似乎總能産生平方數，而這個平方數與所選方格共有的列指標與行指標之和密切相關。

由第2行第2列的單個方格（橘色部分）得到平方數22=4；第3、4行與第3、4列交疊處有四個方格（紅色），將四個方格中的數字加在一起得到(3+4)2=49；而第5、6、7行與第5、6、7列交疊齣有九個方格（綠色），將這九個方格的數字加在一起得到(5+6+7)2=324。

乘法錶，左側為行指標，頂部為列指標。

當一個方格由非連續的行和列相交産生時，這似乎也成立。如果我們取第1、4、8行與第1、4、8列的交點，則（分立的）方格的中數字之和是：(1+4+8)2=169.

對於乘法錶中三個整數a、b、c定義的方格，可以通過數學運算得齣對這三個數都適用的公式。在上麵的例子中，方格中的數字之和是：

更一般的有：

通過將相同的行指標(a、b、c)與對應的列指標(a、b、c)相交方格中的數字求和，給齣瞭行/列指標和的平方。這能擴展到4個數字，5個數字，甚至更多嗎?

平方的平方數和立方的平方數

基於這一知識，我們可以發現一些特殊的模式。例如，讓我們來看看以 連續奇數 為行指標和列指標對應的 行 ，你會很快發現連續奇數（從1開始）的和等於一個平方數。

因為連續奇數的和是一個平方數，那麼連續奇數對應的行/列指標的和就是一個平方數。那麼行/列指標的和的平方將是一個平方數的平方：即一個數字的 四次方。 因此，我們可以用這種特殊的格陣形式從乘法錶中得到4次方的正整數。

將連續奇數行和連續奇數列交點上的藍色正方形求和會得到4次冪的數。

我們可以使用另一個有趣的結論，一個 立方數 (一個數的3次方)可以寫成一個連續奇數的和。例如，13=1，23=8=3+5，和33=27=7+9+11.因此，如果我們選擇的是這些連續的奇數行和奇數列的交點的方形格，這些方形格中數字的和將是一個立方數的平方，也就是一個數的6次方。下麵的綠色方塊是第3、5行與第3、5列的交點，它們的和是(3+5)2=(23)2=26. 黃色方塊是第7、9、11行與第7、9、11列的交點，它們的和是(7+9+11)2=(33)2=36.

數學老師總是在尋找新的方法來介紹乘法、指數和代數的概念。如果我們跳齣思維定式，就會發現乘法錶不僅僅是用來記憶乘法錶的工具。如果我們選擇潛入湛藍的海水深處，我們將在她的海底發現許多數學寶藏。

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不代錶中科院高能所立場

編輯：Mngata

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