中國傳統文化的數學基礎 - 趣味新聞網

發表日期 2007-05-04T16:17:13+08:00

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《中國傳統文化的數學基礎》

----論八卦、五行、天乾地支、二十四節氣、洛書與黃金分割的內在聯係


中華傳統文化源遠流長，整體和諧、發展演化、相反相成是東方文化思想體係的重要組成部分。


一、黃金分割與斐波那契級數

（一）黃金分割

黃金分割數是西元前六世紀古希臘數學傢畢達哥拉斯發現，後來古希臘哲學傢柏拉圖將此稱為黃金分割。把一條綫分為兩部分，此時長段與短段之比恰恰等於整條綫與長段之比，其數值比約為1.618 : 1或1 : 0.618，即長段的平方等於全長與短段的乘積。

黃金分割數是一個無理數，由公式為x2+ax-a2=0可以推導齣，其極值為（√5±1）/2，即0.61803398…著名的斐波那契級數，後項與前項的比值與這個值無限接近。

(二)斐波那契級數

斐波那契級數：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377……義大利中世紀數學傢斐波那契(1170-1240)提齣。隨著數字的增大，兩數間的比值越來越接近黃金分割率，通項公式：

這個數列有如下性質：

1.從第3項開始每一項均為前兩項之和；第10項開始，相鄰兩項之比接近黃金分割數，尤其從第12項開始至後，前後相鄰兩項比值的小數部分均為0.6180…無限接近於黃金分割無理數；

2.數列第5n 項和第12n 項（n為正整數）的值與本項序列號具有相似性，即可以整除，如第5項5÷5、第25項75025÷25、第12項144÷12餘數為零。

二、陰陽學說與斐波那契數列的哲學聯係：

對立統一規律是大自然的普遍規律，是事物發展的源泉和動力。中國傳統的陰陽學說與西方的對立統一思想（較早的代錶人物畢達哥拉斯、赫拉剋裏特、亞裏斯多德、黑格爾等）有共同之處:都承認事物具有相對立統一的兩麵性。我們生活在一個既相互對立、又相互統一的環境裏，春去春來、日升日落、呼吸、走路、開門關門…大到銀河係鏇臂圍繞銀心鏇轉，小到電粒子圍繞原子核運動，沒有對立統一，我們這個世界就無法存在。

對立統一學說中關於事物的發展是是這樣描述的：發展的本質是新事物的産生和舊事物的滅亡。如果我們把事物發展分作A、B、C、D、E…若乾階段，在A的基礎上，新生事物B萌芽並逐漸發展，相對來講A為舊事物，B和A對立統一的結果是舊事物A消亡，新生事物B取得主導地位；當A消亡、B取得主導地位以後，新生事物C萌芽並逐漸發展，相對來講B成為舊事物，C和B之間對立統一的結果是舊事物B消亡，新生事物C取得主導地位…如果用數學公式來錶達，則C=B+A, D=C+B, E=D+C，F=E+D…這很類似於斐波那契級數的性質，即後一項等於前兩項的和。

在斐波那契數列中，第一項和第二項都是“1”，實際上無論第一項和第二項取任何值，數列相鄰兩項的比值都將無限趨近於於黃金分割常數0.618（或1.618）…例如：第一項任取2，第二項任取5，則數列為2,5,7,12,19,31,50,81,131,212,343,555…，第11項與第12項的比值為343/555=0.618…；第一項任取11，第二項任取7，則數列為11,7,18,25,43,68,111,179,290,469,759,1228…,第11項與第12項的比值為759/1228=0.6180…

由此可知，相互對立統一的兩個方麵，無論它們初始的差距有多大，在對立統一發展的過程中，它們相互之間的關係總是無限趨近於平衡、和諧。

三、八卦、傳統曆法與斐波那契數列和黃金分割的關係

（一）八卦、十二地支、二十四節氣與斐波那契數列的聯係

易經的核心思想--陰陽學說是中華傳統文化的根本。事物發展的一個完整週期分為從開始到高潮、又從高潮到結束兩個過程。這兩個過程就是互相對立又互相統一的關係。也就是說事物的發展是以“2”為週期的，即事物發展到第二個階段結束就會迴歸到與原來起始點相似的狀態。在這裏，我們用2進製即以2為除數，去除斐波那契數列，得到的商錶示完整的2階段週期，為方便省略不寫，隻將餘數記下來，就會得到：1、1、0、1、1、0…可以看到每隔3位元數，數位就會重復。如果事物是以黃金分割的方式（即整體和諧的方式）發展的，那麼在以2階段週期的基礎上，事物的發展過程可分為3個階段，相鄰的兩個階段之間符閤黃金分割數。

以此為基礎，可以將事物發展過程再細分為若乾階段，即以3為進製，如同以上的方法用3除斐波那契數列，餘數得到如下數列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0…得到以8階段為週期的事物發展過程， 8個階段每兩相鄰階段之間的發展也符閤黃金分割比例。

同理，以8為進製，用8去除斐波那契數列，得到如下數列：1、1、2、3、5、0、5、5、2、7、1、0、1、1、2、3…可推齣12階段事物發展週期，再以12為進製……，可推齣24階段事物發展週期。如果我們繼續以24為進製，用24做除數去除斐波那契數列，餘數如下：

1、1、2、3、5、8、13、21、10、7、17、0、17、17、10、3、3、16、5、21、2、23、1、0、1、1、2、3、5、8、13、21…

結果發現以24為進製所得到的仍然是24階段週期！為瞭方便，我們把24這樣的數稱作“最終簡諧數”，即：以該數為進製，在斐波那契數列中推理齣的數仍為本身。

做一個小結：在一個自然週期內，如果我們按照陰陽學說或者對立統一的觀點，可以把一個自然週期分為互相對立又互相統一的兩部分，如一年可分為從鼕至到夏至半年、再從夏至到鼕至半年，一天可分為白晝和黑夜；如果再把這個自然週期分為若乾段，且每相鄰兩段之間的發展速度都符閤黃金分割的比例，和諧而又統一在同一自然週期的整體內，那麼我們就可以推理齣3段、8段、12段、24段的發展週期。這與中國傳統的陰陽兩儀（2段）、三爻（3段）、八卦（8段）、十二個月（12段）、二十節氣（24段）是相符的。

四、五行與斐波那契數列和黃金分割的關係：

以上的推理以2進製開始階梯式推理齣24。如果我們隨機取任何數作為一個自然週期內事物發展的階段數，那麼是否還能得到24這樣的數呢？為瞭驗證方便，我們用列錶方法來推理，假設A是隨機取的數，B是以A為進製在斐波那契數列中推理齣來的數，如果B不是一個最終簡諧數，就以B為進製繼續推理…

A(隨機)→ B→ C→ D→ E 備註
26 84 48 --- 24 最終簡諧數24
73 148 228 72 24 最終簡諧數24
111 152 36 --- 24 最終簡諧數24
336 48 --- --- 24 最終簡諧數24
999 1368 72 --- 24 最終簡諧數24
10001 10212 912 72 24 最終簡諧數24
… … … … … …
5 20 60 --- 120 最終簡諧數120，24的5倍
121 110 60 --- 120 最終簡諧數120，24的5倍
398 66 --- --- 120 最終簡諧數120，24的5倍
1194 264 --- --- 120 最終簡諧數120，24的5倍
120 --- --- --- 120 最終簡諧數120，24的5倍
… … … … … …
100 300 --- --- 600 最終簡諧數600，120的5倍
200 300 --- --- 600 最終簡諧數600，120的5倍
401 200 300 --- 600 最終簡諧數600，120的5倍
950 900 --- --- 600 最終簡諧數600，120的5倍
600 --- --- --- 600 最終簡諧數600，120的5倍
… … … … … …
500 1500 --- --- 3000 最終簡諧數…600的5倍
1000 1500 --- --- 3000 最終簡諧數…600的5倍
2000 --- --- --- 3000 最終簡諧數…600的5倍
3500 6000 --- --- 3000 最終簡諧數…600的5倍
3000 --- --- --- 3000 最終簡諧數…600的5倍
… … … … … …
2500 7500 --- --- 15000 最終簡諧數…3000的5倍
10000 --- --- --- 15000 最終簡諧數…3000的5倍
15000 --- --- --- 15000 最終簡諧數…3000的5倍
… … … … … …
75000 --- --- --- 75000 最終簡諧數…15000的5倍

由上推理可以看齣，最終簡諧數如下：24、120、600、3000、15000、75000…它們有以下規律：最小的最終簡諧數是24，後一個最終簡諧數是前一個最終簡諧數的5倍。迴到我們前麵講到的斐波那契數列的性質：“數列第5n項（n為正整數）的值與本項序列號具有相似性，即可以整除”。我們會發現5這個數字是簡諧整體美的象徵。我們可以這樣理解：把事物發展的每一階段都看做一個整體”1”，那麼五個階段就可以量化為5，第五階段的數量“5”與全部整體”5”具有瞭相似性。仍用斐波那契數列來錶示：

1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987…75025…

用哲學的眼光來解釋，就是事物發展到第5個階段，第5階段內部的數與事物發展的階段總數（部分與整體）具有相似性，這時候事物發展到與起始點具有相似性的新的起點；如果此時把事物發展看作新的開始，前五項所有的總和看作一個新的整體”1”，那麼等事物發展到第25個階段的時候，事物發展的總和就擴大瞭5倍，第25個階段上事物發展的數則為75025，與整體25具有相似性(即數列第5n [n為正整數]的值與本項序列數具有相似性)…這樣無窮無盡地發展下去，每發展到5倍便具有相似性, 在斐波那契數列上放大是自然生率，倍數是1.618，大到無窮；縮小是自然息率，倍數0.618，小至無盡…但無論放大或是縮小，自行五次即一個週期，…如下圖

綜上所述，中國傳統文化中的五行理論，是以陰陽的對立統一和事物發展的整體和諧（斐波那契級數方式）為基礎，描述大自然按黃金分割方式和諧方法發展的一種理論。傳統中的五行所說的金、木、水、火、土，不能機械地理解為純粹的五類物質，它所指的其實是事物發展的五個階段，如木所指的並非僅僅是草木之類，而是一種使萬物生發、條達的一個階段屬性，如春季；金也並非僅僅指硬度較大的金屬之類，而是一種使萬物蕭殺、收斂的一種階段屬性，如鞦季。

同時，這種哲學意義還可以理解為一種大自然和社會整體和諧發展的一種係統觀點：大至無外、小至無內，事物都以5倍速的速度發展著。大係統中套小係統，部分與整體具有相似性（圖4）。

二十四節氣與斐波那契數列中的最終簡諧數24是相一緻的，盡管最終諧和數不止24一個，有120、600、3000…等無窮多個，但24段週期是一個最簡的簡諧數（以2為進製逐步推理齣來的）。如果有需要的話，其實按照5倍率把一年分為120或600個以至更多的節氣也許未償不可。傳統中的五天一候，是按照5倍率的方式，將一天（自然週期）乘以5得來的，5天為一個具有相似性的週期，即一候；每年24個節氣，平均每個節氣15天，則每個節氣有三候。

這裏需要說明的是，盡管斐波那契數列中第5n和第12n 項（n為正整數）都具有黃金分割的自相似性，但一個最終簡諧數的12倍卻不是最終簡諧數，如24×12=288，斐波那契數列除以288，餘數排列週期為48。所以盡管兩者都具有自相似性，但5比12更具有規律性。

（未完待續）

[ 本帖最後由 dumbmotor 於 2008-7-1 05:25 編輯 ]

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