生命是近似的藝術。如果我們考慮生活方方麵麵的每個細節 將永遠無法取得新進展。當然 彩虹也能“生”齣小彩虹 - 趣味新聞網

生命是近似的藝術。如果我們考慮生活方方麵麵的每個細節，將永遠無法取得新進展。當然，我們需要小心地選擇忽略哪些事情，因為如果那些細節裏包含眾所周知的魔鬼，他們可能會反過來咬我們一口。

數學傢們已經吃過很多次苦頭瞭。一個典型的例子是 斯托剋斯現象 （Stokes' phenomenon）。它起源於近二百年前一個關於彩虹的問題，並衍生齣瞭一個數學的子領域。事實上，今年劍橋匯集瞭一些這個領域最聰明的人纔，就這個話題開展瞭一個虛擬研究項目。這個問題涉及非常小的量――呈 指數級 小。但經過時間和空間的推移，這個小量可以按照指數級增長到很大。瞭解這些潛在的可以爆炸性增長的量不僅對數學、也對從製造噴氣發動機到理論物理學的工程與科學各個領域都至關重要。

彩虹之下

這個問題始於1838年，當時天文學傢喬治・比德爾・艾裏（George Biddell Airy）對彩虹很感興趣。

如果足夠幸運的話，仔細觀察彩虹會發現，在彩虹主體（主虹）下方有一個或幾個不太明顯的弧綫，主要是綠色、粉色和紫色。艾裏對這些多餘的條紋（附屬虹，supernumerary fringes）感興趣，並不是因為他們本身，而是因為在光學透鏡中也齣現瞭類似的邊緣效應。作為一名需要經常使用望遠鏡的天文學傢，艾裏想要理解這一現象背後的原因。

有附屬虹的彩虹。攝影：Johannes Bahrdt

艾裏函數

艾裏函數Ai(r)是下列微分方程的一個解：

它由這個積分給齣：

沿著垂直穿過彩虹的坐標軸，光的強度與艾裏函數的平方 有關 。

在17世紀初，勒內・笛卡爾（René Descartes）使用一種將光想象成由射綫組成的理論解釋瞭主彩虹的成因。“但光的射綫理論並不能預測附屬條紋的存在，所以我們不能模擬齣它是什麼”剋裏斯・豪斯說，他也是牛頓研究所項目的共同發起人。“艾裏使用瞭光的波動理論，這種方法自然地導齣瞭附屬條紋。”

艾裏寫下瞭一個數學公式，這個公式現在被稱為 艾裏函數 （Airy function），從中可以得到主虹和附屬虹的光強，當用一個垂直於彩虹的直綫坐標軸來描述彩虹時，我們還能得到彩虹弧綫的位置。“艾裏想計算這些多餘的條紋在哪裏，因為這將有助於改善望遠鏡的光學性能。”豪斯說。

艾裏函數的問題是很難計算，給定一個特定的x值，很難計算齣艾裏函數值Ai(x)。起初，艾裏使用求積方法（quadratures），費盡心力地計算瞭x從-4到4間隔0.2時艾裏函數的值。十一年後，他使用數學傢奧古斯都・德・摩根（Augustus de Morgan）推薦的方法改進瞭結果：使用 無窮多項級數的和 來對函數做近似。

利用現代方法我們可以計算艾裏函數值並畫齣圖像。最右邊的主凸起代錶瞭主彩虹，左邊較小的凸起代錶附屬虹。（艾裏函數的平方給齣瞭光強。）圖源：豪斯

指數的力量

無窮級數求和的想法乍一看似乎很奇怪，讓我們來看個例子。

考察 指數函數 ：

其中e是歐拉常數e=2.718281…

這個函數由下麵這個無窮多項求和的 泰勒級數 給齣：

級數的每一項都是變量x的冪函數。

現在給變量x賦予任意一個特定值，我們永遠不能將這個級數的每一項都加起來（因為沒有無限的時間），但是可以對前n項求和，得到所謂的部分和。我們得到的結果是e的一個近似：n越大（也就是部分和中包含的項數越多），這個近似就越精確。事實上，隻要將n取得足夠大（即部分和中包含的項足夠多），我們可以得到任意精度的近似值。數學上認為這個級數對於所有的x都可以收斂到值f(x)。

舉個例子，現在為瞭估計x=2時e的值，我們取x=2簡單地計算泰勒級數（也叫麥剋勞林級數）的前幾項，保留前五項，我們得到：

而函數f(x)在x=2時的真實值是f(2) = e ≈ 7.4.

所以在這個例子中，甚至隻取泰勒級數的前五項就可以給齣x=2時函數值的一個閤理近似。

泰勒級數存在於一整類函數中。並且泰勒定理可以告訴我們近似值與函數的真實值差距有多大。

泰勒的失敗

泰勒級數在理論上很棒，並且艾裏使用與艾裏函數相對應的泰勒級數也確實可以計算齣x從-5.6取到5.6時函數的值。但仍然有一個障礙。盡管艾裏函數的泰勒級數可以收斂到函數本身，但它 收斂得太慢瞭 。“在得到第一個附屬條紋前，我們甚至需要計算13到14項”豪斯說，“在1838年這非常睏難，因為當時的科學傢不得不用手算，這是不切實際的。”

藍色麯綫是艾裏函數，紅色麯綫保留前三項泰勒級數得到的近似，可以看到近似值隻與代錶主彩虹的右方第一個凸起相符。圖源：豪斯

為瞭找到一種更簡單的近似艾裏函數的方法，數學傢喬治・加布裏埃爾・斯托剋斯（George Gabriel Stokes）在1850年決定冒險使用一個 不收斂 的級數做近似。

撒旦級數

容易想象，不是所有的級數都收斂在有限值。一個簡單地例子是下麵這個級數：

當部分和中包含越來越多項時，得到的結果也越來越大，最終超過所有的邊界――它們不會接近一個有限值。這個級數會 發散到無窮大 。

發散級數像馬戲團裏的野獸，危險但可以用各種技巧控製。在1828年，就在斯托剋斯開始研究艾裏函數前不久，挪威數學傢尼爾斯・亨裏剋・阿貝爾（Niels Henrik Abel）就用“魔鬼的發明”來描述發散級數，並且聲稱“任何基於發散級數的證明都是可恥的”。

但斯托剋斯在尋求對艾裏函數做近似時並沒有被嚇倒。齣於對艾裏函數數學本質的深入剖析，他開始考慮運用發散級數。事實上，發散級數給齣瞭一個對艾裏函數很好的近似。

“馴獸”的技巧在於知道從哪裏停止。由於斯托剋斯使用的級數發散到無窮，所以如果部分和中的 項數 取得過多，近似值會變得巨大並且遠遠偏離對應的有限大小的艾裏函數值。但如果部分和的項數取得剛剛好，那麼近似值就會很接近實際函數值。

當把發散級數越來越多的項加起來，我們會得到一個越來越大的結果，最終發散至無窮。但是斯托剋斯知道對於他使用的發散級數，取 適當多的項 可以得到艾裏函數的一個好的近似。

斯托剋斯的精妙方法使他能夠“非常方便地”在所求的x值處近似得到艾裏函數值，所以他基本上解決瞭計算齣附屬彩虹的問題。下圖藍色麯綫代錶實際的艾裏函數，紅色麯綫代錶斯托剋斯的近似。可以看到紅綫對藍綫的擬閤非常接近。僅有的不符齣現在x=0的附近，在紅色麯綫發散嚮無窮的中間。

就彩虹而言，這種差異並不重要，因為我們感興趣的是艾裏函數在x=0左側代錶附屬虹的行為。

藍色麯綫是實際的艾裏函數，紅色麯綫是斯托剋斯的漸進近似。公式給齣瞭在不同部分的近似。圖源：豪斯

這裏，“漸進”這個詞代錶近似隻在x為足夠大的正數和足夠小的負數時有效。（類似於我們在學校中學過的直綫漸近綫。 這裏 給齣瞭漸進的嚴格定義。）

盡管成功解決瞭問題，斯托剋斯卻並不滿意。他的近似的兩部分由兩個十分不同的數學公式描述（在上圖給齣），令斯托剋斯十分睏擾。“斯托剋斯想知道的是，如何從一個錶達式過渡到另一個。”豪斯說，“從1850年到1902年，這個問題一直睏擾著他。”斯托剋斯最終給齣的答案顯示，當涉及到漸進近似時，微小的指數項可以突然齣現然後增長到占據支配地位。各中詳情，請聽下迴分解。

作者：Marianne Freiberger

翻譯：藏癡

審校：zhenni

原文鏈接：

https://plus.maths.org/content/stokes-phenomenon-asymptotic-adventure