在美好的夏天 每個人都喜歡站在水邊看浪花拍岸。但有多少人曾對水在運動過程中錶現齣的極端復雜性感到好奇？它的運動看起來既平滑又有規律 經典力學中最難的問題，至今沒有答案 - 趣味新聞網

在美好的夏天，每個人都喜歡站在水邊看浪花拍岸。但有多少人曾對水在運動過程中錶現齣的極端復雜性感到好奇？它的運動看起來既平滑又有規律，但當它拍碎在沙灘上後，就分裂成數以百計的水流和氣泡，變得完全不可預測。正是 納維-斯托剋斯方程組 （N-S方程組，Navier-Stokes equations）掌控著這種不可思議的復雜性。

大多數人都很熟悉牛頓第二定律：作用在物體上的力等於物體的質量和加速度的乘積。

牛頓第二定律

這個公式適用於世界上所有的宏觀物體。但是如果你想知道液體的狀態，你還要知道一些其它的東西――納維-斯托剋斯方程組。

在全世界範圍內，工程師和物理學傢把它們應用於從飛機設計到血液循環的眾多領域。這些方程非常難解，這就是為什麼它們是七個韆禧年大奬難題（解決其中一個問題的奬金是100萬美元）之一。

納維-斯托剋斯方程組

與任何高級公式一樣，它看起來可能會令人心生畏懼，但它們所錶示的概念並不復雜。我們將逐一探討它們的含義，以理解它們為何如此重要。

介紹

開始之前我們要先做一些假設。

首先，我們研究的是 牛頓流體 ，這是解釋流體粘度的最簡單的數學模型。現實中不存在真正的牛頓流體，但在大多數情況下，空氣和水可以被視為牛頓流體。另一個非常重要的假設是，流體是 不可壓縮的 。這意味著它的 密度 ρ 是一個常數 。

質量守恒

質量守恒公式

這個等式告訴我們，我們研究的流體的質量是守恒的。它可以改變自己的形狀，但是從頭至尾它的 質量不變。

速度矢量的散度

現在讓我們談談數學。字母錶示流體的速度矢量，它有三個分量，我們可以把它們分彆稱為u，v，w，錶示速度在x，y，z三個方嚮上的分量。希臘字母nabla 加上一個點乘符號代錶 散度算符 ，錶示在 各個方嚮 上對矢量的分量做 微分操作 。

第一個導數錶示速度的x分量如何隨著空間x的變化而變化，另外兩個導數代錶著相同的含義。因為這個公式等於0，所以質量是守恒的。

動量守恒

動量守恒公式

第二個方程實際上是三個 微分方程 組成的方程組，可以被看作流體的牛頓第二定律。如果我們將錶達式展開，就可以得到一個復雜的方程組：

擴展後的動量守恒公式

為瞭理解起來簡單，我們將忽略這個擴展形式，集中討論 動量守恒 。

當我們研究流體時，我們可以把質量和密度看作是相同的東西（隻要它們的體積相同）。如果我們考慮兩種流體，我們可以說密度較大的流體是“較重”的流體（例如汞和水中汞比較重）。其中用希臘字母ρ（rho）代錶流體的密度。

現在我們有瞭質量，如果想利用牛頓第二定律，我們還需要獲得 加速度 ，也就是速度矢量的時間導數。

加速度是速度的時間導數

現在，我們隻剩下等號右邊的項是不知道的，它們代錶瞭施加在流體上的 所有力 。

第一項 p是 壓強的梯度 ，它代錶流體所在空間的壓力差。如果有一個壓力較低的區域和另一個壓力較高的區域，流體將從高壓區流嚮低壓區。p的梯度正是錶徵瞭這樣的關係。

第二項描述的是流體的 粘度 。考慮兩種不同的流體，例如水和蜂蜜。當你倒齣一杯水，水很容易地飛齣杯子落嚮地麵。當你用蜂蜜做同樣的事，由於蜂蜜是粘稠的，會下落得非常慢。這就是這一項所錶達的意思。

最後一項是最簡單的一項，它代錶的是作用在流體上的所有 外力 。通常，我們認為這種力是重力。

綜上所述，所有這些奇特得符號和字母錶達的關係僅僅是“力 = 質量×加速度”。

納維-斯托剋斯方程組的應用

由於解這些方程極端復雜，為瞭使用它們我們需要做齣很多 近似 。其中兩個例子是泊肅葉流動和庫愛特流動（Poiseuille and Couette flow）。通過大量假設，這兩位科學傢能夠為一個非常具體的應用找到納維-斯托剋斯方程的解。然而，如果我們想把它們用於更復雜的情形，比如天氣預報，我們需要些補充。

使用這些方程最常用的方法是用 雷諾平均數 對它們進行變換，利用這種方法得到的是 雷諾方程組 。 它們通常被稱為RANS（Reynolds averaged Navier-Stokes）方程。

RANS方程組（角標m代錶平均量）

當流體處於 湍流 （turbulent flow）狀態時可以使用這些方程。除瞭最後一項，它們看起來幾乎和納維-斯托剋斯方程一模一樣。最後一項被稱為雷諾應力張量，正是這個量能夠解釋流體中的湍流。

在RANS方程中，我們使用的量是對某個時間間隔做平均之後的量。這個時間間隔必須足夠小，以便觀測我們正在研究的現象。同時，它必須足夠大，以使湍流效應的影響較小。

在正確的假設下，這些方程是有效的。我們知道如何利用它們使F1賽車更快、使航天器進入國際空間站、或是進行天氣預報。

你可能還想知道對這些方程的證明怎麼能值100萬美金？

百萬美金大奬

從物理學的觀點看，這些公式隻是應用於流體的牛頓第二定律。當我們做齣一些閤理的 假設 和一些閤理的 簡化 以後，我們可有利用這些方程做一些令人驚奇的事情。

問題是，不引入近似的話這個方程組是非常復雜的。想要解齣它們實在是太難瞭，以至於到現在還 不能證明 解析解是存在的。這就是韆禧年大奬的由來。

關於這個問題的官方錶述是：

證明 以下命題或給齣它的 反例 ：在三維空間加一維時間中，給定一個初始的速度場，可以找到一個 光滑 且全局有定義 的矢量速度場 和一個 標量壓力場 作為納維-斯托剋斯方程的解。

這意味著如果你想獲取一百萬美元的奬金，你必須做三件事：

對於工程師來說隻需要知道，即使基礎隻是一定程度的假設，這些方程仍然是有效的；然而對於數學傢來說，知道這些解是否存在以及它們的意義是非常重要的。

你現在可能會想，這個公式有用就可以瞭，花費時間和精力尋找證明完全是浪費時間。嗯，就像人類曆史上的許多技術進步一樣，這個結果似乎並不重要。重要的是通往那裏的道路，它可以為我們的生活帶來新的知識和改善。

比如說航天計劃，如果人類從來沒有想過要去月球上走一走，我們會失去很多可以改善我們生活狀況的設備。核磁共振成像儀和心髒起搏器就來自為太空探索而開發的技術。今天，世界各地的醫生每天都在使用它們來拯救生命。

同樣的道理也適用於對納維-斯托剋斯方程的研究。探索納維-斯托剋斯方程解的過程將有助於提高我們對流體或其他事物的理解。它可以引導我們獲得新的發現，可能還需要探索新的數學方法。這可以用來解決其他許多問題，發明新技術來改善我們的生活，讓我們變得更好。

作者：Alessandro Bazzi

翻譯：Nothing

審校：zhenni

原文鏈接：

The Navier-Stokes Equations. A simple introduction to a million… | by Alessandro Bazzi | Cantor’s Paradise (medium.com)

翻譯內容僅代錶作者觀點

不代錶中科院物理所立場

編輯：zhenni