極值點偏移問題的本質與通法――以兩道高考模擬導數壓軸題的解法探究為例2021年廣州一模第22題和2021年廣東省一模第21題都是極值點偏移中的雙變量常見問題 一般有四種解法：對稱化構造函數法 極值點偏移問題的本質與通法 - 趣味新聞網

極值點偏移問題的本質與通法

――以兩道高考模擬導數壓軸題的解法探究為例

2021年廣州一模第22題和2021年廣東省一模第21題都是極值點偏移中的雙變量常見問題，一般有四種解法：對稱化構造函數法，齊次化構造法，利用對數平均不等式法，構造輔助函數法，本文給齣利用對稱化構造函數解法，對問題與一般性結論的推廣，揭示極值點偏移問題的本質，希望能夠對研究和備考新高考的同行們起到拋磚引玉的作用.

1 經典試題展示

題目1(2021年廣州一模第22題節選)已知函數f(x)=x ln x-ax 2+x(a∈R)有兩個零點，且x2＞2x1，求證

題目2 (2021年廣東省一模第21題節選)已知 函 數g(x)=ln x-ax+1(a∈R)，設x1、x2是g(x)的兩個零點，求證:x1+x2+2eln a＞0.

2 解法探究

因為x∈( 0,+∞)，則f(x)=x ln x-ax 2+x(a∈R)有兩個零點，等價於ln x-ax+1有兩個零點，所以此兩道導數壓軸題實質是研究g(x)=ln x-ax+1的零點問題，即研究方程的根的問題.如圖1所示.

圖1

令，由h'(x)=0，得x=1.

當x∈(0,1)時，h'(x)＞0，函數h(x)單調遞增；當x∈(1,+∞)時，h'(x)＜0，函數h(x)單調遞減.所以函數h(x)的極大值點為x=1，函數h(x)的極大值為h(1)=1.

因為有兩個交點，則0＜a＜1，且

記函數h(x)( x＜1)的圖象關於直綫x=1的對稱圖象（如圖1虛綫）的解析式為y=

所以F(x)在()內單調遞增，所以F(x)＜F(1)=0.

所以F(x)=h(x)-h(2-x)＜0，故h(x1)＜h(2-x1)，即h(x2)＜h(2-x1).因為x1＜1＜x2，則2-x1＞1，又y=h(x)在(1,+∞)內單調遞減，所以x2＞2-x1，即x2+x1＞2.

所以h(x)在(0,1)內遞增，在(1,+∞)內遞減，則x1＜1＜x2，又已知x2＞2x1，則x2.由h(x)的單調性及圖象知

2021年廣州一模第21題得證.

先證明：x≥eln x.設h(x)=x-eln x( x＞1)，所以當x＞e時，h'(x)＞0，當1＜x＜e時，h'(x)＜0，所以h(x)在( e,+∞)單調遞增，h(x)在( 1,e)單調遞減.所以h(x)≥h(e)=0.所以

因 為f(x)=ln x-ax+1，所 以f'(x)=，所以當時，f'(x)＞0，當時，f'(x)＜0，所以f(x)在單調遞增，f(x)在內單調遞減.所以f(x)的極值點為

所以所以x1+x2+2eln a＞0.

2021年廣東省一模第21題得證.

3 對稱化構造函數法解決極值點偏移的本質

3.1 極值點偏移的圖象錶徵

(1)極值點左偏

圖2“快增慢減”型

圖3“快減慢增”型

(2)極值點右偏

圖4 “慢增快減”型

圖5 “慢減快增”型

3.2 對稱化構造函數法解答極值點偏移問題

從數學本身來看，對稱是對象內部結構不變性；從解題學角度看，對稱是對象內部信息的有序排列.作圖形1、2、3、4中左邊（或右邊）圖形關於直綫x=x的對稱圖形（見上文虛綫）.可以發現1、2、3、4虛綫部分完全位於原圖同側部分的下（或上）方，這正是極值點産生偏移原因（x左右函數圖象增減速度不同）的直觀展示.下麵以圖1為例，從對稱的角度介紹極值點偏移問題的處理方法.

定理1 如圖1，已知連續函數f(x)在區間(a,b)內隻有一個極值點x，如方程f(x)=c的解分彆是x1、x2，且x1＜x2.則x1+x2＞2x.

證明 作y=f(x)( x＜x)的圖象關於x=x的對稱圖象（圖1虛綫部分），得虛綫部分的解析式為g(x)=f( 2x-x)( x＞x).

令h(x)=f(x)-f( 2x-x)( x＞x)，得

h'(x)=f'(x)+f'( 2x-x)＞0( x＞x).

於是h(x)＞h( x)=0，

故f(x)＞g(x)( x＞x)恒成立.

由f(x1)=f( x2)＞g( x2)=f( 2x-x2)，得f(x1)＞f( 2x-x2).

因為f(x)在( a,x)內單調遞增，且2x-x2＜x，所以x1＞2x-x2.故x1+x2＞2x.

3.3 對稱化構造函數法解極值點偏移問題的步驟

（1）求齣函數f(x)的極值點x；

（2）利用對稱性構造函數：

（3）證明：f(x)＞g(x)(或f(x)＜g(x))；

（4）由單調性脫f:

由f(x1)=f( x2)＜g( 2x-x2)及單調性，得x1+x2＞2x(或 x1+x2＜2x).

極值點偏移問題的實質，是將自變量轉移在極值點同側，再利用單調性比較大小.

3.4 運用對稱化構造函數法解答高考中極值點偏移問題

例1（2016高考數學全國I捲）已知函數f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2有兩個零點.設x1、x2是f(x)的兩個零點，證明：x1+x2＜2.

證明 a＞0，當x∈(-∞,1)時，f'(x)＜0，函數f(x)單調遞減；當x∈(1,+∞)時，f'(x)＞0，函數f(x)單調遞增.於是f(x)的極值點為x=1.

記y=f(x)(x＜1)的圖象關於直綫x=1的對稱圖象（如圖6虛綫）的解析式為g(x)=f(2-x)=-x e2-x+a(1-x)2(x＜1).

圖6

令 h(x)=f(x)-g(x)=x e2-x+(x-2)e x(x＜1)，h'(x)=(1-x)( e2-x-e x).

因為x＜1，所以2-x＞1，e2-x-e x＞0，於是h'(x)＞0，所以h(x)＜h(1)=0，

即f(x)＜g(x)恒成立.

設x1＜1＜x2，因 為f( x1)=f( x2)＜g( x1)=f( 2-x1)，即f( x2)＜f( 2-x1)，又2-x1＞1，得x2＜2-x1，故x1+x2＜2.

例2（2013年高考湖南捲）已知函數f(x)=當f( x1)=f( x2)( x1≠x2)時，證明：x1+x2＜0.

證 明 當x∈(-∞,0)時，f'(x)＞0，函 數f(x)單調遞增；當x∈(0,+∞)時，f'(x)＜0，函數f(x)單調遞減.所以函數f(x)的極值點為x=0.記y=f(x)(x＞0)圖象關於x=0的對稱圖象（如圖7虛綫部分）的解析式為g(x)=

圖7

令f(x)-g(x)=0)，

設h(x)=(1-x)e x-(1+x)e-x(x＜0)，

所以h'(x)=x( e-x-e x)＜0，於是h(x)＞h(0)=0.故f(x)-g(x)＞0(x＜0)恒成立.

設x1＜0＜x2，由f( x2)=f( x1)＞g( x1)=f( -x1)，得f( x2)＞f( -x1)，又-x1＞0，因為當x∈(0,+∞)時，f'(x)＜0，函數f(x)單調遞減，所以x2＜-x1，得x1+x2＜0.

例3（2011年高考遼寜捲）已知函數f(x)=ln x-ax 2+(2-a)x.設a＞0，若函數y=f(x)的圖象與x交於A、B兩點，綫段AB中點的橫坐標為x，證明：f'( x)＜0.

證明 當a＞0時，f(x)在內單調遞增，在內單調遞減.

圖8

所以函數f(x)的極大值點為設函數f(x)與x軸交於A、B兩點的橫坐標為x1、x2，有圖象關於直綫的對稱圖象（如圖9虛綫）的解析式為內恒成立.設0＜x1＜x3＜x2，因為f( x2)=f( x1)＜g( x1)=且 函 數 f(x)在內單調遞減.故即x1+得 又 f(x)在內單調遞減，所以f'( x)＜0.

4 極值點偏移類型題的設問方式的推廣

對比2021年廣州一模第22題和2021年廣東省一模第21題的問題設問，先將極值點偏移類型題的設問方式的推廣如下：

(1)證明：g'(αx1+βx2)＜0，其 中 α＜ β,α+β=1；

(2)證明：αx1+βx2＞ 某常量；

(3)證明：ln x1+ln x2＞某常量；

(4)證明：x1x2＞某常量；

(5)證明：αln x1+βln x2＞某常量；

(6)證明某常量；

(7)證明某常量.

如2021年廣東省一模第21題與2021年廣州一模第22題的函數f(x)=ln x-ax+1有兩個不等的零點x1、x2.且x2＞2x1.

(1)證明

(2)證明

(3)證明：ln x1+ln x2＞3 ln 2-2；

(4)證明

(5)證明：2 ln x1+3 ln x2＞8 ln 2-2；

(6)證明

(7)證明

以上不等式證明都可以類比證明(4)的證明,由於篇幅關係,此處不再贅述.

證明(4)因為函數f(x)=ln x-ax+1有兩個不等 的零點x1、x2，由f(x)=0，得：a=所 以，因為x∈(0,+∞)，x2＞2x1，令則

所以

令h(t)=

令則p'(t)=顯然p(t)在(0,1)內遞增，而p(1)=0，所以當時，p(t)＜0，即h'(t)＜0，所以h(t)＞即2+ln x1x2＞ln 8，故

5 備考啓示

極值點偏移中的雙變量常見處理技巧在於如何消除雙變量的變量的‘多’與‘繁’.既可消雙變量為單變量，也可化雙變量為單變量，還可因勢利導，順應自然，構造閤理的函數轉化為單調性或其他問題予以求解，雙變量的消、化、導、變，都充分地體現瞭方程思想，轉化思想，以及函數思想的豐富應用.

從拓展試題隱性要素的角度抓住數學問題本質，實現對試題知識點的拓展、發散，以及對相關知識點的重組和整閤，可以是基於教材的高考試題改編，適當放慢進度，降低難度，控製好問題的思維層次，通過創設情境與探究活動，引導學生發現、提齣問題，將問題歸類，讓學生掌握同一類問題的解題通法.